Logaritmos y sus propiedades
1- Definición de Logaritmo
Se define logaritmo como el exponente de una
potencia con cierta base, es decir, el número al cual se debe elevar una base
dada para obtener un resultado determinado.
Por ejemplo:
5 0 = 1
51 = 5
52 = 25
53 = 125, etc.
Luego, siendo la base 5, el
logaritmo de 1 (que se escribe log5 1) es 0, por que 0 es
el exponente al que hay que elevar la base 5
para que dé 1; el log5 5 es 1; el log5 25
es 2, el log5 125 es 3, etc.
- No existe el logaritmo de los
números negativos.
- El argumento y la base de un logaritmo
son números reales positivos. Además, la base no puede ser 1. Es
decir, en la expresión logb a, siempre, por
definición, a ∈ R+ y b ∈ R+ – {1}.
- La expresión logb a , se lee
como: “logaritmo de a en base b”.
Volvamos a la definición de logaritmo: “exponente al que es
necesario elevar una cantidad positiva para que resulte un número
determinado”.Si lo escribiera como ecuación, corresponde a resolver logb a = x,
donde b es la base del logaritmo y aes su argumento, con a y b positivos.
2- Propiedades
2.1- Logaritmo de la unidad
El logaritmo de 1 en cualquier base es igual a 0. logb (1)
= 0 ; con b ≠ 1.
Ej: log5 (1)
= 0 porque 50 =1
log7 (1) = 0 porque 70 = 1
log20 1 = 0 ⇔ 200 = 1
2.2- Logaritmos de la base
El logaritmo de la base es igual a 1. logb (b) = 1
; con b ≠ 1.
Ej:
log5 (5) = 1 ⇔ 51 =
5
log6 (6) = 1 ⇔ 61 =
6
log12 (12) = 1 ⇔ 121 =
12
2.3- Logaritmo de una potencia con
igual base:
El logaritmo de una potencia de un número es igual al producto
entre el exponente de la potencia y el logaritmo del número. logb bn =
n, con b ≠ 1
Ej: log6 6 3 =
3
2.4- Logaritmo de un producto
El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos
de los factores.
logb (a • c) = logb a +
logb c
Ej: logb (5 • 2) = logb 5 +
logb 2
2.5- Logaritmos de un cociente
El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo,
menos el logaritmo del divisor.
Ej:
2.6- Logaritmo de una potencia
El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado
por el logaritmo de la base.
loga cn = n loga c
Ej: log3 10 2 = 2 log3 10
2.7- Logaritmo de una raíz
El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo de la cantidad
subradical dividido entre el índice de la raíz.
Ej:
2.8- Cambio de base
para todo p, a, b > 0; b, c ≠ 1
Ej: log2 5
= log 5 / log 2
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